Дано краткое изложение метода быстрых разложений для решения нелинейных дифференциальных уравнений. Установлены правила применения оператора быстрых разложений к решению дифференциальных уравнений. По методу быстрых разложений неизвестную функцию можно представить суммой граничной функции и ряда Фурье по синусам и косинусам по какой-нибудь одной переменной. Специальная конструкция граничной функции обусловливает достаточно быструю сходимость рядов Фурье так, что для инженерных расчетов достаточно учитывать всего три первых члена. Метод применим как к линейным, так и нелинейным интегро-дифференциальным системам. При применении метода быстрых разложений к нелинейным уравнениям Навье–Стокса задача сводится к замкнутой системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой не представляет особых затруднений. К полученной системе дифференциальных уравнений можно повторно применить метод быстрых разложений и свести первоначальную задачу к системе алгебраических уравнений. Если задача n-мерная, то после n-кратного применения метода быстрых разложений задача сводится к замкнутой алгебраической системе. В итоге получаем решение сложной краевой задачи в частных производных в аналитическом виде. Рассмотрено течение несжимаемой вязкой жидкости Навье–Стокса в криволинейной трубе. Задача сводится к решению замкнутой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями методом быстрых разложений. Рассмотрены особенности нахождения коэффициентов граничной функции и коэффициентов Фурье операторов быстрых разложений нулевого и первого порядков. Получение решения в аналитическом виде представляет большой интерес, так как позволяет проводить анализ и исследовать влияние различных факторов на свойства течения вязкой жидкости в конкретных случаях.
The brief presentation of the method of fast expansions is given to solve nonlinear differential equations. Application rules of the operator of fast expansions are specified for solving differential equations. According to the method of fast expansions, an unknown function can be represented as the sum of the boundary function and Fourier series sines and cosines for one variable. The special construction of the boundary functions leads to reasonably fast convergence of the Fourier series, so that for engineering calculations, it is sufficient to consider only the first three members. The method is applicable both to linear and nonlinear integro-differential systems. By means of applying the method of fast expansions to nonlinear Navier-Stokes equations the problem is reduced to a closed system of ordinary differential equations, which solution doesn't represent special difficulties. We can reapply the method of fast expansions to the resulting system of differential equations and reduce the original problem to a system of algebraic equations. If the problem is n-dimensional, then after n-fold application of the method of fast expansions the problem will be reduced to a closed algebraic system. Finally, we obtain an analytic-form solution of complicated boundary value problem in partial derivatives. The flow of an incompressible viscous fluid of Navier–Stokes is considered in a curvilinear pipe. The problem is reduced to solving a closed system of ordinary differential equations with boundary conditions by the method of fast expansions. The article considers peculiarities of finding the coefficients of boundary functions and Fourier coefficients for the zero-order and first-order operators of fast expansions. Obtaining the analytic-form solution is of great interest, because it allows to analyze and to investigate the influence of various factors on the properties of the viscous fluid in specific cases.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.