доцент, кафедра высшей математики. тел. (473) 200-50-50
Associate professor, Department of higher mathematics. phone (473) 200-50-50
Реферат. В различных прикладных задачах, в которых рассматриваются вопросы управления и оптимизации, теории систем, теоретической и строительной механике при изучении структур из струн и стержней, теории колебаний, теории упругости и пластичности, в задачах механике, связанных с разрушениями и моделированием ударных волн, используются математические модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Подобная методология также применяется при исследовании математических моделей методами дифференциальных уравнений на графах, описывающих различные связанные системы с возможным упорядочиванием. Такие уравнения используются как в теоретическом обосновании математических моделей, так и служат основой для конструирования численных методов решения и компьютерных алгоритмов. В работе исследование таких моделей проводится методом функций Грина. В первой части работы приводятся общие сведения о методе функций Грина для многоточечных краевых задач. Описывается основное уравнение, вводятся понятия многоточечных краевых условий, граничных функционалов, вырожденных и невырожденных задач, фундаментальной матрицы решений. В основной части работы вначале даётся постановка задачи, включающая условия разрывов и деформаций. Далее при- водятся основные результаты работы. В теореме 1 приведены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи. В теореме 2 установлены условия строгой положительности решения и соизмеримости для пары решений. В теореме 3 установлено существования и оценки для минимального собственного значения, свойства точек спектра, положительность собственных функций. В теореме 4 доказана весовая монотонность функции Грина. В конце работы приводятся возможные приложения к теории сигналов и теории операторов преобразования.
Summary. In many applied problems of control, optimization, system theory, theoretical and construction mechanics, for problems with strings and nods structures, oscillation theory, theory of elasticity and plasticity, mechanical problems connected with fracture dynamics and shock waves, the main instrument for study these problems is a theory of high order ordinary differential equations. This methodology is also applied for studying mathematical models in graph theory with different partitioning based on differential equations. Such equations are used for theoretical foundation of mathematical models but also for constructing numerical methods and computer algorithms. These models are studied with use of Green function method. In the paper first necessary theoretical information is included on Green function method for multi point boundary-value problems. The main equation is discussed, notions of multi-point boundary conditions, boundary functionals, degenerate and non-degenerate problems, fundamental matrix of solutions are introduced. In the main part the problem to study is formulated in terms of shocks and deformations in boundary conditions. After that the main results are formulated. In theorem 1 conditions for existence and uniqueness of solutions are proved. In theorem 2 conditions are proved for strict positivity and equal measureness for a pair of solutions. In theorem 3 existence and estimates are proved for the least eigenvalue, spectral properties and positivity of eigenfunctions. In theorem 4 the weighted positivity is proved for the Green function. Some possible applications are considered for a signal theory and transmutation operators.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.