Интегрирование бигармонического уравнения по неявной схеме
https://doi.org/10.20914/2310-1202-2018-2-114-118
Аннотация
В статье представлено пошаговое построение конечно-разностной схемы для неоднородного бигармонического уравнения при нулевых граничных условиях, наложенных на искомую функцию и ее частные производные первого порядка. Конечно-разностная схема основана на квадратном двадцатипятиточечном шаблоне и имеет неявный характер. На равномерной сетке с помощью разложения функции в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа вычислена погрешность аппроксимации бигармонического оператора разностным аналогом и погрешность аппроксимации граничных условий, наложенных на частные производные первого порядка. Граничные условия, наложенные на искомую функцию, выполняются точно. Конечно-разностная схема аппроксимирует краевую задачу со вторым порядком точности по шагу сетки. С помощью системы компьютерной алгебры Maple получено решения задачи для различных шагов сетки. Выявлена зависимость минимума функции и времени расчета от числа значимых цифр. Найдено оптимальное число значащих цифр. Проведен анализ скорости сходимости численной схемы. Установлена зависимость минимального значения функции и времени расчета от величины шага сетки. Найдено оптимальное значение шага. Построены трехмерный график решения и его профили в серединных сеченияx.Указаны преимущества разработанной конечно-разностной схемы. Полученные результаты отвечают физическому смыслу задачи и согласуются аналогичными численными и приближенно-аналитическими решениями.
Об авторе
М. И. Попов
Воронежский государственный университет инженерных технологий
Россия
к.ф.-м.н., старший преподаватель, кафедра высшей математики и информационных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394036, Россия
Россия
к.ф.-м.н., старший преподаватель, кафедра высшей математики и информационных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394036, Россия
Список литературы
1. Завьялов В.Н., Мартынов Е.А., Романовский В.М. Основы строительной механики пластин: учебное пособие. Омск: СибАДИ, 2012. 116 с.
2. Шафарец Е.Б., Шафарец Б.П. Свободная конвекция учет некоторых физических особенностей при моделировании конвективных течений с помощью вычислительных пакетов // Научное приборостроение. 2014. Т. 24. №2. С. 43–51.
3. Гоц А.Н. Численные методы расчета в энергомашиностроении. Владимир: Изд-во ВлГУ, 2013. 182 с.
4. Jani S., Mahmoodi M., Amini M., Jam J. Numerical investigation of natural convection heat transfer in a symmetrically cooled square cavity with a thin fin on its bottom wall // Thermal science. 2014. V. 18. №. 4. Р. 1119-1132.
5. Gros T., Revnic C., Pop I., Ingham D.B. Free convection heat transfer in a square cavity filled with a porous medium saturated by a nanofluid // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2015. V. 87. P. 36–41.
6. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы классической математической физики. М.: Диалог-МИФИ, 2010. 240 c.
7. Mu L., Wang J., Ye X. Effective implementation of the weak Galerkin finite element methods for the biharmonic equation // Computers & Mathematics with Applications. 2017. V. 74. №. 6. P. 1215-1222.
8. Doss L. J. T., Kousalya N. Finite Pointset Method for biharmonic equations // Computers & Mathematics with Applications. 2018. V. 75. №. 10. P. 3756-3785.
9. Doss L. J. T., Kousalya N., Sundar S. A Finite Pointset Method for Biharmonic Equation Based on Mixed Formulation // International Journal of Computational Methods. 2017. P. 1850068.
10. Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Попов М.И. Численное интегрирование бигармонического уравнения в квадратной области // Вестник Санкт-Петербургского университета. 2013. № 10. V. 1. P. 52–62.
11. Попов М.И., Соболева Е.А. Приближенное аналитическое решение внутренней задачи кондуктивно-ламинарной свободной конвекции // Вестник ВГУИТ. 2016. № 4. С. 78–84.
Рецензия
Для цитирования:
Попов М.И. Интегрирование бигармонического уравнения по неявной схеме. Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. 2018;80(2):114-118. https://doi.org/10.20914/2310-1202-2018-2-114-118
For citation:
Popov M.I. The integration of a biharmonic equation by an implicit scheme. Proceedings of the Voronezh State University of Engineering Technologies. 2018;80(2):114-118. (In Russ.) https://doi.org/10.20914/2310-1202-2018-2-114-118
Просмотров: 482
Послать статью по эл. почте 
Оставить комментарий 
