Разработка функциональных напитков на основе сыворотки требует эффективного удаления минеральных солей, поскольку высокая минерализация ухудшает вкус и ограничивает пригодность продукта для людей с сердечно-сосудистыми и почечными заболеваниями. Нанофильтрация является наиболее перспективным методом деминерализации проницаемой жидкости, позволяющим одновременно концентрировать лактозу и селективно удалять одновалентные ионы. Однако этот процесс чувствителен к давлению, температуре и концентрации сухого вещества, а также осложняется концентрационной поляризацией и образованием осадков лактата кальция на мембране. В данной статье представлена математическая модель нанофильтрации ультрафильтрационной проницаемой жидкости из сыворотки. Эта модель учитывает миграцию ионов (Na⁺, K⁺, Ca²⁺, Cl⁻, PO₄³⁻ и лактата) через заряженную полиамидную мембрану, конвективно-диффузионный массоперенос в пограничном слое, равновесие образования комплекса CaL⁺ и кинетику кристаллизации лактата кальция с увеличением гидравлического сопротивления осадка. Получены аналитические и численные решения для различных значений объемного расхода, концентраций компонентов в ретентате и фильтрате, степени деминерализации и индекса насыщения на поверхности мембраны. Экспериментальная проверка модели и реальных решений продемонстрировала ее адекватность. Критическим фактором, ограничивающим время фильтрации, определено пересыщение лактатом кальция, происходящее через 38 минут работы. Оптимальный коэффициент удержания кальция составляет 0,64, обеспечивая деминерализацию на 25-35% при коэффициенте концентрации 2,0-2,5. Модель может быть использована для выбора рациональных режимов нанофильтрации и прогнозирования загрязнения мембраны в промышленном производстве деминерализованных сывороточных основ для функциональных напитков.

1. Huliienko S.V., et al. Simulation of reverse osmosis process: novel approaches and development trends // Journal of Engineering Sciences. 2022. V. 9. № 2. P. F6–F36. doi: 10.21272/jes.2022.9(2).f2

2. Huliienko S.V., Korniienko Y.M., Gatilov K.O. Modern trends in the mathematical simulation of pressure-driven membrane processes // Journal of Engineering Sciences. 2020. V. 7. № 1. P. F1–F21. doi: 10.21272/jes.2020.7(1).f1

3. Xu R., Zhang Z., Deng C. et al. Micropollutant rejection by nanofiltration membranes: a mini review dedicated to the critical factors and modelling prediction // Environmental Research. 2024. V. 244. P. 117935. doi: 10.1016/j.envres.2023.117935

4. Huliienko S., Muzyka S. Mathematical modeling of nanofiltration: the latest trends and developmental perspectives // Proceedings of the 4th International Scientific Conference «Chemical Technology and Engineering». Lviv, 2023. P. 45–46.

5. Al Kholif M., Hermana J., Bilad M.R., Chao H.P. Comprehensive updates on recent advances, fouling mechanisms, and future perspectives of nanofiltration // Journal of Water Process Engineering. 2024. V. 58. P. 105565. doi: 10.1016/j.jwpe.2024.105565

6. Dhillon P.K., Singla P. Advances in non-thermal membrane processing for nutrient recovery in dairy industry // Sustainable Membrane Technology for Food and Bioprocessing. Taylor & Francis, 2024. Chapter 12.

7. Юрова Е.А., Кобзева Т.В., Фильчакова С.А. Деминерализованная молочная сыворотка как основное сырье для производства продуктов специализированного питания // Пищевая промышленность. 2022. № 3. С. 64–67. doi: 10.52653/PPI.2022.3.3.015

8. Suárez E., Lobo A., Alvarez S. et al. Demineralization of whey and milk ultrafiltration permeate by means of nanofiltration // Desalination. 2009. V. 241. № 1–3. P. 272–280. doi: 10.1016/j.desal.2007.11.089

9. Мельникова Е.И., Богданова Е.В., Павелева Д.А. Исследование минерального профиля пермеата молочной сыворотки на различных стадиях мембранной фильтрации // Вестник ВГУИТ. 2024. Т. 86. № 1. С. 112–118.

10. Cuartas-Uribe B., Alcaina-Miranda M.I., Soriano E. et al. Nanofiltration of sweet whey and prediction of lactose retention as a function of permeate flux using the Kedem–Spiegler and Donnan Steric Partioning models // Separation and Purification Technology. 2007. V. 56. № 1. P. 38–46. doi: 10.1016/j.seppur.2007.01.015

11. Cuartas-Uribe B. et al. Application of nanofiltration models for the prediction of lactose retention using three modes of operation // Journal of Food Engineering. 2010. V. 99. № 3. P. 284–292. doi: 10.1016/j.jfoodeng.2010.03.003

12. Vatsa S., Kumar M., Ghanghas N. et al. Nanofiltration: principles, process modeling, and applications // Membrane Technologies for Heavy Metal Removal from Water. CRC Press, 2021. P. 151–168.

13. Chandrapala J., Duke M.C., Gray S.R. et al. Strategies for maximizing removal of lactic acid from acid whey – addressing the un-processability issue // Separation and Purification Technology. 2017. V. 172. P. 489–497. doi: 10.1016/j.seppur.2016.09.005

14. Bargeman G., Guerra Miguez O., Westerink J.B., ten Kate A. Chloride retention model for concentrated solutions containing sodium chloride and sodium sulfate based on thermodynamic considerations // Desalination. 2023. V. 549. P. 116562. doi: 10.1016/j.desal.2022.116562

15. Van der Horst H.C., Timmer J.M.K., Robbertsen T., Leenders J. Use of nanofiltration for concentration and demineralization in the dairy industry: model for mass transport // Journal of Membrane Science. 1995. V. 104. № 3. P. 205–218. doi: 10.1016/0376-7388(95)00022-4

16. Sivaranjanee R., Mahalaxmi S. Nanofiltration // Membrane Technology for Water and Wastewater Treatment. Elsevier, 2022. Chapter 9.7.1.

17. Титов С.А., Овсянников В.Ю., Ключникова Д.В., Велитченко К.А. Концентрационная поляризация при нанофильтрации ультрафильтрационного пермеата молочной сыворотки // Индустрия питания. 2026. Т. 11. № 2. С. 45–54. doi: 10.29141/2500-1922-2026-11-2-5

18. Храмцов А.Г. Формирование закономерностей молекулярно-ситового разделения молочного белково-углеводного сырья для продуктов нового поколения // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. 2015. № 5. С. 197–204.

19. Пономарева Е.И., Титов С.А., Жданов В.Н. и др. Контроль активности воды в технологии лактулозосодержащей сыворотки // Пищевые системы. 2021. Т. 4. № 3. С. 186–193. doi: 10.36107/spfp.2021.191

20. Антипова Л.В., Титов С.А., Жданов В.Н., Карпак А.Н. Использование измерений внутреннего трения для исследования ультра- и нанофильтрации модифицированной творожной сыворотки // Вестник ВГУИТ. 2018. Т. 80. № 4. С. 298–303. doi: 10.20914/2310-1202-2018-4-298-303

21. Casado-Coterillo C., Garea A., Irabien A. et al. Modeling of lactic acid rejection from lactose in acidified cheese whey by nanofiltration // Journal of Dairy Science. 2023. V. 106. № 7. P. 4533–4544. doi: 10.3168/jds.2022-22502

22. Ozel B., McClements D.J., Arikan O. et al. Challenges in dried whey powder production: quality problems // Food Research International. 2022. V. 160. P. 111682. doi: 10.1016/j.foodres.2022.111682

23. Шохалова В.Н., Кузьмин А.А., Дыкало Н.Я. и др. Нанофильтрация творожной сыворотки: теоретические и практические аспекты // Молочная промышленность. 2014. № 11. С. 65–66.